Teorema faktorisasi tunggal

Teorema faktorisasi tunggal
Misalkan R ring euklid dan a taknol bukan unit dalam R. Jika a = p1p2p3p4......pn = q1q2q3........qm, dengan qm dam pn unsur prima dalam R. Maka n = m dan setiap pi, i dari 1 sampai n sekawan dengan qj, j dari 1 sampai m. Dan sebaliknya untuk setiap pk sekawan dengan qk.
Bukti :

Perhatikan hubungan a = p1p2p3p4......pn = q1q2q3........qm. jadi p1|a yaitu p1| q1q2q3........qm. menurut teorema p1 harus membagi salah satu qi, misalkan q1. karena p1 dan q1 unsur prima, maka p1 sekawan dengan q1. maka q1 = u1p1. sehingga p1p2.....pn = u1p1q2q3.......qm. demikian seterusnya sampai n kali. Jika m>n, maka 1 = u1u2u3.....umq(n+1)q(n+2).....qm. ini tidak mungkin karena qj unsur prima. Begitu pula sebaliknya jika m kurang dari n,
maka w1w2......wmp(m+1)....pn = 1. ini juga tidak mungkin karena p unsur prima. Jadi haruslah m = n.
Seperti pada teori bilangan : 12 = 2.3.3.2 = 3.2.2.3, ini menunjukan bahwa faktor primanya tunggal dan hanya urutan penulisannya yang berbeda.