Materi analisis Real 2

Ruang Vektor
Defenisi :
Misalkan V suatu himpunan takkosong. V dikatakan ruang vektor jika dilengkapi dengan dua operasi biner yaitu perkalian skalar dan penjumlahan vektor sehingga untuk setiap a elemen R ( real) dan x elemen V, maka ax elemen V dan untuk setiap x,y elemen V, maka (x+y) elemen V.
Penjumlahan vektor harus memenuhi :
1. x+y = y+x ,untuk setiap x,y elemen V
2. x+(y+z) = (x+y)+z, untuk setiap x,y,z di V.
3. ada 0 di V sehingga x + 0 = x untuk setiap x di V
4. untuk setiap x di V, ada –x di V sehingga x+(-x) = 0.
Perkalian skalar harus memenuhi :
1. 1.x = x untuk setiap x di V
2. a(bx) = (ab)x, untuk setiap a,b di R dan x di V.
3. a(x+y) = ax + by dan (a+b)x = ax + bx , untuk setiap a,b di R dan x,y di V.
Unsur-unsur dalam V kita namakan Vektor, dan unsure-unsur dalam R adalah skalar,
Setiap himpunan yang membentuk grup komutatif ada kemungkinan untuk menjadi ruang vector, misalnya di R, dan R dua dapat dibuktikan bahwa keduanya ruang vector.
perhatikan poin 3 pada skalar. tidak ada vektor kali skalar, tetapi skalar kali vektor.