problem ring topic in algebra struktur aljabar II

Soal latihan Ring
1. prove that R must be comutative.
2. If D is an integral domain and D is of finite characteristic, prove that the characteristic of D is prime number.
3.If D integral domain, & if na=0, some a nonzero element of D & n nonzero element of Z, prove that D is of finite characteristic.
Indonesian version :
1.
tunjukan bahwa R komutatif, ini disebut ring boolean.
2. Jika D daerah integral & berkarakteristik berhingga , tunjukan bahwa D berkarakteristik bilangan prima.
3.jika D daerah integral, & jika na=0, ada a taknol di D & n taknol di Z, tunjukan bahwa D berkarakteristik berhingga.
Jawab
1.Ambil sebarang a,b unsur di R, adit ab=ba.



2.misal n unsur di Z positif karakteristik dari D, ambil sebarang a unsur di D, maka an=0, adit n bilangan prima.Andaikan n bukan bilangan prima, maka n=kt,k&t bukan 1.sehingga na=kta=0<=>ktab=0.b,untuk setiap b undur di D.maka (ka)(tb)=0. jika a& b taknol unsur di D daerah integral, maka ka=0 atau tb=0,ini mengatakan bahwa k atau t karakteristik dari D (suatu kontradiksi). jadi haruslah n bilangan prima.

3.a=0 => na=n.0=0
a tak nol, maka ada n taknol unsur di Z sehingga na=0. adit n unsur di Z positif. sehingga na=0.perhat : jika n<0,maka –n>0 sehingga –n.a=n(-a)=0. Ini nebgatakan bahwa n karakteristik dari D.